Числовые ряды Функции комплексной переменной Операционное исчисление Примеры решения задач

Математика задачи на интегрирование и дифференцирование

Примеры применения операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений

ПРИМЕР. Найти частное решение уравнения

,

удовлетворяющее начальным условиям .

Решение. Обозначим изображение искомого решения  через , т.е. , тогда .

Правую часть уравнения  представим в виде , поэтому изображение ее есть .

От дифференциального уравнения переходим к операторному

,

откуда

, .

Рекомендуем всегда проводить проверку найденного решения, т.е. убедиться, что найденная функция удовлетворяет дифференциальному уравнению и указанным в задаче начальным условиям.

ПРИМЕР 30. Найдите решение системы дифференциальных уравнений   удовлетворяющее начальным условиям , , .

Решение. Обозначим , , . Тогда , , .

Каждое из дифференциальных уравнений системы заменим операторным уравнением:

Полученную систему линейных алгебраических уравнений решаем методом Крамера:

 и  или .

Аналогично

;

.

Ответ: ;

. Рекомендуем провести проверку полученного результата.

В курсах теоретических основ электроники и радиотехники часто решаются линейные неоднородные дифференциальные уравнения, правая часть которых – "склеенная" функция.

Рассмотрим пример решения уравнения подобного типа.

ПРИМЕР 31. Найти решение уравнения

  при .

Решение. Пусть , тогда  и левая часть уравнения имеет изображение . Чтобы найти изображение правой части уравнения, запишем  через единичную функцию Хевисайда: .

По теореме запаздывания имеем .

Итак, данное дифференциальное уравнение переходит в операторное уравнение , решение которого

.

Находим оригиналы слагаемых:

.

Поэтому имеем  или 

Задания

Решить уравнение  

при

Ответ: .

Решить систему уравнений  при . Ответ:

Решить дифференциальное уравнение  при , где функция  задана графиком как треугольный импульс (см. рисунок).

Ответ: если  – решение и ,

, то . Имеем

  и

.


Пример. Вычислить интеграл