Числовые ряды в комплексной области
Всякому комплексному числу
, где
и
– действительные числа, ставится в соответствие точка
на плоскости. Множество всех комплексных чисел
обозначается через
и соответствует точкам плоскости (говорим о комплексной плоскости). Различные формы записи комплексного числа и правил действий с комплексными числами рассмотрены ранее ([5], [7]).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть
– некоторое множество комплексных чисел. Если каждому значению
на множестве
(записываем
) соответствует по правилу
одно или несколько комплексных чисел
, то
есть комплекснозначная функция
комплексной переменной
, определенная на множестве
(записываем
,
).
Здесь ограничимся рассмотрением только однозначных функций
,
.
ПРИМЕР 1. Функция
,
– однозначная комплекснозначная функция комплексной переменной
, так как при возведении в целую положительную степень числа
получим единственное значение
. Область определения функции – вся комплексная плоскость, т.е.
.
ПРИМЕР 2. Функция
тоже однозначная; определена она во всех точках
, кроме
.
Умножая числитель и знаменатель на сопряженное значение
, т.е. на
, получаем
, или
, или
, т.е. можно выделить действительную и мнимую части функции
, где
,
.
Задание комплекснозначной функции комплексной переменной
, эквивалентно одновременному заданию двух действительнозначных функций
и
, каждая из которых есть функция двух переменных
и
и определена на
,
,
.
Понятие последовательности комплексных чисел вводится аналогично понятию последовательности действительных чисел.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Множество значений комплекснозначной функции
при
, записанное в порядке возрастания
, образует числовую последовательность
, где
.
Числовая последовательность
состоит из комплексных чисел
(иногда вместо
пишут
). Здесь
и
– числовые последовательности действительных чисел,
,
Разложение функций в степенные ряды |
|