Числовые ряды Функции комплексной переменной Операционное исчисление Примеры решения задач

Математика задачи на интегрирование и дифференцирование

Пример. Найти оригинал , соответствующий изображению .

Решение. Представим . Так как  и , то

.

Вычисляя интеграл

, получаем .

Заметим, что для нахождения оригинала можно было разложить

  на простейшие дроби  и использовать табл. 2.

ПРИМЕР 34. Решить дифференциальное уравнение  при .

Решение. Пусть . Тогда операторное уравнение имеет вид , откуда . Найти оригинал можно различными способами.

  разложим на простейшие дроби

,

откуда имеем . Применяя метод неопределенных коэффициентов, получаем , , ; поэтому имеем

.

2. Найдем оригинал по формуле обращения. Функция  имеет три простых полюса , . По формуле (19) получаем

.

3. Применим теорему Бореля, представив  в виде произведения изображений:

.

Поскольку, , то .

Таким образом, окончательно получаем решение дифференциального уравнения .

Задание. Используя теорему Бореля, найти оригинал по изображению а) ;  б) .

Ответы: а) , ; б) , .

Пример 2:

Выведем закон движения тела, брошенного с начальной скоростью V под углом α к горизонту.

Но по условию y(0) = 0 → C2 = 0 →  

Найдем время подъема:

Найдем высоту подъема: 

Дальность полета xmax (при y(t) = 0 )

y(t) = 0

при


Пример. Вычислить интеграл