Числовые ряды Функции комплексной переменной Операционное исчисление Примеры решения задач

Математика задачи операционное исчисление

Теорема Фурье

Пусть функция  1) абсолютно интегрируема на ; 2) кусочно-гладкая на   при любом . Тогда имеет место интегральная формула Фурье (5).

Заметим, что проведенный предельный переход от ТРФ к ИФ требует специального обоснования. Нельзя переходить к пределу при  непосредственно в ряде, так как обычная интегральная сумма рассматривается на промежутке конечной длины, причем подынтегральная функция не меняется с уменьшением длин отрезков разбиения.

Полное доказательство теоремы Фурье изложено, например, в [15].

Теорема Фурье выражает лишь достаточные условия представимости функции ее ИФ. Существуют непериодические функции, для которых интегральная формула Фурье имеет место, хотя функция не является абсолютно интегрируемой на .

Интегральную формулу (5) записывают также в следующем виде:

. (6)

Знак  ("равно почти всюду") в формуле (6) понимается так же как для ТРФ: ИФ имеет значение , если  – точка непрерывности функции , и ИФ имеет значение, равное полусумме значений пределов слева и справа функции  в этой точке, если  – точка разрыва .

ИФ является двойным несобственным интегралом, причем внутренний интеграл вычисляется по  (,  – фиксированы); внешний интеграл – по  (должна получиться функция аргумента ). Заметим, что внешний интеграл вычисляется как несобственный интеграл в смысле "главного значения".

Представление непериодической функции  по формулам (5) и (6) называют разложением функции  в ее ИФ.

Теорема Дирихле о перестановке членов абсолютно сходящегося числового ряда.

Теорема: Пусть ряд сходится абсолютно, . Тогда, для любой перестановки ряда  новый ряд сходится. При этом, ряд A¢ сходится абсолютно и его сумма равна сумме исходного ряда, то есть A = A¢.

Доказательство:

1) 

k – фикс., , тогда  

и .

Аналогично рассматривается ряд А, как полученный перестановкой

членов :

Доказано.

2)  an – произвольного знака. Пусть тогда:

 ;

– сходится, – сходится, так как ряд A сходится абсолютно .

Применяя к  и  результат из 1), получим полное доказательство.

Доказано.


Пример. Вычислить интеграл