Числовые ряды Функции комплексной переменной Операционное исчисление Примеры решения задач

Математика задачи операционное исчисление

 Спектральные характеристики функции

Если непериодическая функция  представлена ИФ по формуле (6), то функция

 (7)

называется спектральной функцией (или спектральной плотностью функции) . Отметим, что  вводится с точностью до постоянного множителя (масштаба) и является, как правило, комплексно-значной функцией частоты .

Действительно-значные функции частоты

 (8)

называются амплитудной и фазовой спектральными функциями (характеристиками) непериодической функции  (соответственно АЧХ и ФЧХ сигнала ).

Эти функции и их графики называются также соответственно амплитудными и фазовыми частотными спектрами функции .

Некоторые свойства спектров

1. Поскольку для , то функция  четная, а функция   нечетная. Поэтому амплитудный частотный спектр  симметричен относительно оси , а фазовый частотный спектр  симметричен относительно точки .

2. Из (7) имеем

.

Применяя лемму Римана–Лебега [15], для кусочно-гладкой функции   получаем , а поэтому , т.е. амплитудный частотный спектр функции  при  асимптотичен по отношению к оси .

3. Если положить , , то фазовый частотный спектр функции  ограничен.

ПРИМЕР 1. Функцию  представить ИФ. Найти и построить ее спектры.

Решение. Поскольку , то функция  абсолютно интегрируема на . На всяком отрезке конечной длины  кусочно-гладкая. Поэтому она представима ИФ.

Поскольку , то имеем разложение , .

Графики спектральных характеристик

  и


изображены на рисунке. Здесь можно проследить указанные ранее свойства частотных спектров.

Сопоставим понятия ТРФ и ИФ, параллельно выписывая свойства и термины.

ТРФ

ИФ

 – –периодическая функция, ;

  – дискретная переменная – принимает значения

;

  – сумма функционального ряда;

,  – комплексная последовательность коэффициентов Фурье определяет дискетный частотный спектр функций .

Разложение  в ТРФ есть представление периодической функции   в виде "суммы" счетного множества гармоник , .

 – непериодическая функция, ;

  – непрерывная переменная – принимает значения ;

  – несобственный интеграл;

,  – комплекснозначная спектральная функция определяет "сплошной" частотный спектр функции .

Разложение  в ИФ есть представление непериодического сигнала   в виде "суммы" континуального множества колебаний  с частотами .


Пример. Вычислить интеграл