Дельта -функция, ее свойства
Дельта–функция (функция Дирака)
определяется соотношениями
и
. (19)
Она не является функцией в обычном смысле, относится к классу обобщенных функций.
Функция
может быть рассмотрена как предел так называемых дельта-образных функций. Например, функция
, (20)
определенная по
на
и зависящая от параметра
, при
переходит к
. В самом деле, при
имеем
, при
![]()
, причем
при любом значении
. Итак, можно записать
.
Дельта–функция может быть представлена как предел последовательности не обязательно гладких непрерывных, но даже кусочно-непрерывных функций (их называют иногда последовательностью иглообразных функций). Так, например, последовательности функций
и
(21)
также при
приводят к функции
.
Рассмотренные последовательности функций, приводящие к
, состоят из четных функций, поэтому естественно считать и дельта–функцию четной на
, т.е.
![]()
.
Для нахождения изображения
при ПФ проведем следующие интуитивно понимаемые рассуждения:
пусть
, где
описано в (21);
для
![]()
.
Можно попытаться принять
при любом значении
.
Смещенная дельта – функция
определяется условиями
и
. (22)
Рассмотрим "фильтрующее" или "захватывающее" свойство дельта–функции, определяемое равенством
, (23)
где
– произвольная непрерывная и ограниченная на
функция;
– произвольное число.
Действительно, из (22) подынтегральная функция в (23) равна нулю при всяком
, поэтому имеем
,
где
– произвольное число. Применяя обобщенную теорему о среднем, получим
,
где
. При
имеем
, т.е. справедливо равенство (23).
Используя формально равенство (23), получим
при
,
т.е.
; это означает, что дельта–функция имеет равномерную спектральную функцию на всей области значений частот
. Отсюда по свойству симметрии ПФ можно записать соотношение
.
Функции
и
связаны между собой. В самом деле, поскольку
то
. (24)
Дифференцируя формально по
это равенство, получим соотношение
, (25)
позволяющее распространить понятие производной на разрывные функции.
Функция
не удовлетворяет условию абсолютной интегрируемости, и поэтому преобразование Фурье для нее в обычном смысле не существует. Используя понятие дельта–функции и ее свойства, можно построить спектральную функцию
для
.
Покажем, что для
имеем
, т.е.
.
Для этого подставим
в формулу обратного преобразования Фурье и учтем "фильтрующее" свойство функции
. Тогда
.
Далее имеем
в силу нечетности по
подынтегральной функции. Значение интеграла
может быть вычислено с помощью формулы
. Для
имеем
; для
имеем
.
Окончательно получаем
.
Пример. Вычислить интеграл |
|