Дельта -функция, ее свойства
Дельта–функция (функция
Дирака) 
определяется соотношениями
и 
. (19)
Она не является функцией в обычном смысле, относится к классу обобщенных функций.
Функция
может быть рассмотрена как предел так называемых дельта-образных
функций. Например, функция
,
(20)
определенная по 
на 
и зависящая от параметра 
, при 
переходит к . В самом деле, при 
имеем 
, при 
, причем
при
любом значении . Итак, можно записать
.
Дельта–функция может быть представлена как предел последовательности не обязательно гладких непрерывных, но даже кусочно-непрерывных функций (их называют иногда последовательностью иглообразных функций). Так, например, последовательности функций
и 
(21)
также при 
приводят к функции .
Рассмотренные последовательности функций, приводящие
к , состоят из четных функций,
поэтому естественно считать и дельта–функцию четной на 
, т.е. 
.
Для нахождения изображения 
при ПФ проведем следующие интуитивно понимаемые рассуждения:
пусть
, где 
описано в (21);
для 
.
Можно попытаться принять
при любом значении 
.
Смещенная дельта – функция 
определяется условиями
и 
. (22)
Рассмотрим "фильтрующее" или "захватывающее" свойство дельта–функции, определяемое равенством
,
(23)
где 
– произвольная
непрерывная и ограниченная на функция; 
– произвольное число.
Действительно, из (22) подынтегральная
функция в (23) равна нулю при всяком 
,
поэтому имеем
,
где
– произвольное число. Применяя
обобщенную теорему о среднем, получим
,
где
. При 
имеем 
, т.е. справедливо равенство (23).
Используя формально равенство (23), получим
при 
,
т.е. 
; это означает, что дельта–функция имеет равномерную спектральную
функцию на всей области значений частот . Отсюда по свойству симметрии ПФ можно записать
соотношение 
.
Функции 
и связаны между собой. В самом деле, поскольку 
то 
. (24)
Дифференцируя формально
по это равенство, получим соотношение
,
(25)
позволяющее распространить понятие производной на разрывные функции.
Функция
не удовлетворяет условию абсолютной интегрируемости,
и поэтому преобразование Фурье для нее в обычном смысле не существует. Используя
понятие дельта–функции и ее свойства, можно построить спектральную функцию 
для .
Покажем, что для имеем 
, т.е.
.
Для
этого подставим в формулу обратного преобразования Фурье и учтем "фильтрующее"
свойство функции . Тогда
.
Далее имеем 
в силу нечетности по 
подынтегральной функции. Значение интеграла
может быть вычислено с помощью
формулы 
. Для 
имеем 
; для 
имеем 
.
Окончательно получаем 
.