Числовые ряды Функции комплексной переменной Операционное исчисление Примеры решения задач

Математика задачи операционное исчисление

 Дельта -функция, ее свойства

Дельта–функция (функция Дирака)  определяется соотношениями

  и . (19)

Она не является функцией в обычном смысле, относится к классу обобщенных функций.

Функция  может быть рассмотрена как предел так называемых дельта-образных функций. Например, функция

,  (20)

определенная по  на  и зависящая от параметра , при  переходит к . В самом деле, при  имеем , при  , причем

при любом значении . Итак, можно записать

.

Дельта–функция может быть представлена как предел последовательности не обязательно гладких непрерывных, но даже кусочно-непрерывных функций (их называют иногда последовательностью иглообразных функций). Так, например, последовательности функций

   и  (21)

также при  приводят к функции .

Рассмотренные последовательности функций, приводящие к , состоят из четных функций, поэтому естественно считать и дельта–функцию четной на , т.е.  .

Для нахождения изображения  при ПФ проведем следующие интуитивно понимаемые рассуждения:

пусть , где  описано в (21);

для   .

Можно попытаться принять  при любом значении .

Смещенная дельта – функция  определяется условиями

  и . (22)

Рассмотрим "фильтрующее" или "захватывающее" свойство дельта–функции, определяемое равенством

,  (23)

где  – произвольная непрерывная и ограниченная на  функция;  – произвольное число.

Действительно, из (22) подынтегральная функция в (23) равна нулю при всяком , поэтому имеем

,

где  – произвольное число. Применяя обобщенную теорему о среднем, получим

,

где . При  имеем , т.е. справедливо равенство (23).

Используя формально равенство (23), получим

  при ,

т.е. ; это означает, что дельта–функция имеет равномерную спектральную функцию на всей области значений частот . Отсюда по свойству симметрии ПФ можно записать соотношение .

Функции  и  связаны между собой. В самом деле, поскольку   то . (24)

Дифференцируя формально по  это равенство, получим соотношение

,  (25)

позволяющее распространить понятие производной на разрывные функции.

Функция  не удовлетворяет условию абсолютной интегрируемости, и поэтому преобразование Фурье для нее в обычном смысле не существует. Используя понятие дельта–функции и ее свойства, можно построить спектральную функцию   для .

Покажем, что для  имеем , т.е.

.

Для этого подставим  в формулу обратного преобразования Фурье и учтем "фильтрующее" свойство функции . Тогда

.

Далее имеем  в силу нечетности по  подынтегральной функции. Значение интеграла  может быть вычислено с помощью формулы . Для  имеем ; для  имеем .

Окончательно получаем .


Пример. Вычислить интеграл