Задача 1. Фокусы эллипса совпадают с фокусами гиперболы
.
Эллипс проходит через точку 
.
Составить уравнение этого эллипса.
Решение. Обозначим через 
и 
полуоси данной гиперболы, через 
и 
- полуоси искомого эллипса. Имеем 
, откуда
.
Так как фокусы эллипса совпадают с фокусами данной гиперболы, то и для эллипса
. Уравнение эллипса ищем в виде
. Так как точка
принадлежит эллипсу, то ее
координаты удовлетворяют уравнению эллипса и, кроме того, выполнено
соотношение 
. Таким образом, для определения и имеем
систему:
Контрольная работа №4 Дифференциальные уравнения
Обозначив 
и 
,
получим 
Решая, находим 
(рис.1).
Ответ: 
. Рис.1
II. Во втором задании требуется привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка, выполнив последовательно поворот, а затем параллельный перенос координатных осей.
Пример:
Гармонический ряд.
Зафиксируем e=0.5, m³n0, n=2m
|
am+1+…+an |= 
=>ряд расходится.
Всего m слагаемых
– необходимый признак сходимости числового ряда.
Доказательство:
n=m+1 "e>0, $ n0 => "n³n0 => |an|<e =>